고등학교 수학에서 수열의 합을 구할 때 자주 등장하는 게 바로 부분분수예요. 일반항이 유리식, 즉 분수 형태로 주어진 수열의 합을 구할 때 분모를 그대로 더하기는 어렵지만, 부분분수로 쪼개면 항끼리 서로 소거되면서 계산이 훨씬 간단해져요.
이번 글에서는 자주 쓰이는 부분분수 공식 3가지 유형과, 각각을 실제 수열의 합 문제에 어떻게 적용하는지 정리해볼게요.
부분분수의 기본 원리
부분분수는 분모가 두 다항식의 곱으로 이루어진 분수를 두 개의 분수 차 형태로 나누는 방법이에요. 기본 공식은 다음과 같이 표현돼요.
1/(AB) = 1/(B-A) × (1/A – 1/B)
이 식에서 핵심은 분모 차이인 (B-A)를 빼먹지 않는 거예요. 실수로 이 값을 생략하면 계산 결과가 완전히 틀어지기 때문에, 부분분수를 처음 배울 때 가장 많이 실수하는 부분이기도 해요.
유형 1: 연속한 자연수 곱 형태
가장 기본적인 유형은 분모가 n(n+1)처럼 연속한 두 자연수의 곱으로 이루어진 경우예요. 이때는 1/(n(n+1)) = 1/n – 1/(n+1)로 분해할 수 있어요.
이 유형의 수열의 합을 구할 때는 각 항을 나열해보면 뒤 항의 앞부분과 다음 항의 뒷부분이 서로 상쇄되는 구조가 눈에 보여요. 예를 들어 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + … 형태의 합을 구하면, 중간 항들이 모두 소거되고 첫 항의 앞부분과 마지막 항의 뒷부분만 남아요.
이런 형태를 소거형 수열, 혹은 망원경 급수(telescoping series)라고도 부르는데, n항까지의 합이 1 – 1/(n+1)로 깔끔하게 정리되는 게 특징이에요.
유형 2: 간격이 2 이상인 곱 형태
두 번째 유형은 분모가 n(n+2)처럼 간격이 2인 자연수의 곱으로 이루어진 경우예요. 이때는 1/(n(n+2)) = (1/2) × (1/n – 1/(n+2))로 분해돼요.
여기서 주의할 점은 앞에 곱해지는 계수가 간격의 역수라는 거예요. 간격이 2이기 때문에 1/2이 곱해지고, 만약 간격이 3이라면 1/3이 곱해지는 식으로 일반화할 수 있어요.
이 유형은 소거가 한 번에 이루어지지 않고 두 항씩 건너뛰며 소거되는 구조라서, 항을 나열할 때 홀수 항과 짝수 항을 따로 정리해야 실수를 줄일 수 있어요. 마지막에 남는 항의 개수도 유형 1보다 많아지는 경우가 있어서 꼼꼼하게 확인해야 해요.
유형 3: 루트가 포함된 부분분수
세 번째 유형은 분모에 루트(제곱근)가 포함된 경우예요. 예를 들어 1/(√n + √(n+1)) 형태의 분수는 분모를 유리화하는 과정을 거쳐야 부분분수 형태로 정리할 수 있어요.
분모와 분자에 (√(n+1) – √n)을 각각 곱해주면 분모가 (n+1) – n = 1로 정리되면서, 결과적으로 1/(√n + √(n+1)) = √(n+1) – √n이라는 소거형 구조가 나와요.
이 유형은 처음 접하면 부분분수라는 걸 알아차리기 어려운 경우가 많은데, 분모에 두 개의 루트 합이나 차가 보이면 유리화를 먼저 시도해보는 습관을 들이는 게 좋아요.
시그마와 함께 활용하는 방법
- 일반항 분해: 시그마 안의 일반항을 부분분수로 먼저 분해한 뒤, 시그마의 선형성을 이용해 두 개의 합으로 나눠 계산해요.
- 항 나열로 소거 확인: 처음 몇 개 항과 마지막 몇 개 항을 직접 나열해보면 어떤 항이 소거되고 어떤 항이 남는지 눈으로 확인할 수 있어요.
- 남는 항 정리: 소거되지 않고 남은 항들만 모아서 최종 답을 n에 대한 식으로 정리하는 게 마지막 단계예요.
시그마(∑)는 합을 나타내는 그리스 문자로, 부분분수로 분해한 식을 시그마 기호 안에 대입해 정리하면 복잡해 보이던 수열의 합도 간단한 식으로 변환할 수 있어요.
실수하기 쉬운 부분
부분분수를 활용한 수열의 합 문제에서 가장 흔한 실수는 분모의 차이, 즉 (B-A)에 해당하는 계수를 빼먹는 거예요. 또한 소거가 덜 되는 항을 실수로 지워버리는 경우도 자주 발생해요.
특히 유형 2처럼 간격이 2 이상인 경우에는 소거되는 패턴이 한 눈에 보이지 않을 수 있어서, 항을 최소 4~5개 정도 직접 나열해보고 규칙을 확인한 뒤 답을 정리하는 습관을 들이는 게 실수를 줄이는 방법이에요.
정리하면 부분분수는 분모의 형태에 따라 유형이 나뉘는데, 연속한 자연수 곱, 간격이 있는 곱, 루트가 포함된 형태가 대표적인 3가지 유형이에요. 각 유형의 분해 공식을 정확히 기억하고 소거 패턴을 직접 나열해서 확인하는 연습을 반복하면 시그마를 활용한 수열의 합 문제를 훨씬 수월하게 풀 수 있어요.